Question

7．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，将△ABC沿MN折叠（M、N分别在AC、AB上，且不与端点重合），使点A与BC上的点D重合，点D把线段BC分成长度之比是1：2的两条线段，则线段BN的长为（　　）

• A． $\frac{15}{8}$
• B． 3
• C． 3或$\frac{15}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$或4

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，然后可求得BD=4或BD=2，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD的长，然后由翻折的性质可知AO=$\frac{1}{2}AD$，且MN⊥AD，接下来在证明△ADB∽△ANO，然后由相似三角形的性质列出比例式，可求得AN，从而得到BN的长．

解答 解：如图所示：如图1所示：∵点D把线段BC分成长度之比是1：2的两条线段，
∴DB=$\frac{2}{3}BC$=$\frac{2}{3}×6=4$．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{D{B}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
由翻折的性质可知：AO=OD=2$\sqrt{5}$，且MN⊥AD，
在△ADB和△ANO中，∠DAB=∠NOA，∠DBA=∠AON，
∴△ADB∽△ANO．
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{OA}{AB}$，即$\frac{AN}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{8}$．
解得：AN=5．
∴MN=3．
如图2所示：∵点D把线段BC分成长度之比是1：2的两条线段，
∴DB=$\frac{1}{3}BC$=$\frac{1}{3}×6$=2．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{B{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
由翻折的性质可知：AO=OD=$\sqrt{17}$，且MN⊥AD，
在△ADB和△ANO中，∠DAB=∠NOA，∠DBA=∠AON，
∴△ADB∽△ANO．
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{OA}{AB}$，即$\frac{AN}{2\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{8}$．
解得：AN=$\frac{17}{4}$．
∴MN=$\frac{15}{4}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的综合应用，根据题意画出图形，然后进行分类计算是解题的关键．