Question

4．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动．设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm²）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

• A． AD=10cm
• B． sin∠EBC=$\frac{4}{5}$
• C． 当t=15s时，△PBQ面积为30cm²
• D． 当0＜t≤10时，y=$\frac{2}{5}$t²

Answer 1

分析 根据图象可以得到BC和BE的长度，从而可以得到AD的长，可以判断A；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF=CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断B；
根据题意可以分别求得在t=15s时，BQ、QP的长，从而得到△PBQ面积，可以判断C；
根据函数图象可以求得在0＜t≤10时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积的表达式，可以判断D．

解答 解：由图象可知，BC=BE=10，DE=14-10=4，
∴AD=10，故A正确；
AE=AD-DE=10-4=6cm，
作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如图所示，

由图象可知，三角形PBQ的最大面积为40，
∴$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×10•EF=40，
解得EF=8，
∴sin∠EBC=$\frac{EF}{EB}$=$\frac{4}{5}$，故B正确；
当t=15s时，点Q与点C重合，
由图象可知，DE=4，
所以点P运动到边DC上，且DP=15-10-4=1，如图所示，

∴PC=8-1=7，
∴△PBQ面积=$\frac{1}{2}$×10×7=35（cm²），故C错误；
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，
∴$\frac{PM}{EF}$=$\frac{BP}{BE}$，即$\frac{PM}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得PM=$\frac{4}{5}$t，
∴△BPQ的面积=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²，
即y=$\frac{2}{5}$t²，故D正确；
故选：C．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．