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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.

【答案】
(1)解:∵AB是半圆O的直径,

∴∠ACB=90°,

又∵OD∥BC,

∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,

∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°,∠AOD=∠B=70°.

∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ADO= = =55°

∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;


(2)解:在直角△ABC中,BC= = =

∵OE⊥AC,

∴AE=EC,

又∵OA=OB,

∴OE= BC=

又∵OD= AB=2,

∴DE=OD﹣OE=2﹣


【解析】(1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°,则∠CAB的度数即可求得,在等腰△AOD中,根据等边对等角求得∠DAO的度数,则∠CAD即可求得;(2)易证OE是△ABC的中位线,利用中位线定理求得OE的长,则DE即可求得.

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(3)求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

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(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.

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