Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax²+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；

（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A为OB的中点，

∴点A的坐标为（0，﹣1）．

∵CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（﹣2，0），D（2，0），

将点A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得：，

解得：，

∴抛物线得解析式为y=．

（2）如下图：过点P₁作P₁F⊥OE．

∵OE=2，

∴点E的坐标为（0，2）．

∵P₁F⊥OE．

∴EF=OF．

∴点P₁的纵坐标为1．

同理点P₂的纵坐标为1．

将y=1代入抛物线的解析式得：x₁=，x₂=2．

∴点P₁（﹣2，1），P₂（﹣2，1）．

如下图：

当点E与点B重合时，点P₃与点A重合，

∴点P₃的坐标为（0，﹣1）．

综上所述点P的坐标为（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1）．

（3）设点P的坐标为（m，），

∴圆的半径OP==，

点P到直线l的距离=﹣（﹣2）=+1．

∴d=r．

∴直线l与圆P相切．