Question

10．在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax²（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线y=-2x-2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，由AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到OE=$\frac{1}{2}$AB=1，求出A（-1，1）、B（1，1），把x=1时，y=1代入y=ax²得：a=1得到抛物线的解析式y=x²，A、B两点的横坐标的乘积为x_A•x_B=-1
（2）如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N得到∠AMO=∠BNO=90°，证出△AMO∽△BON，得到OM•ON=AM•BN，设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），由于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）在y=x²图象上，得到y_A=${{x}_{A}}^{2}$，y_B=${{x}_{B}}^{2}$，即可得到结论；
（3）设A（m，m²），B（n，n²）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn=-1．再联立直线m：y=kx+b与抛物线y=x²的解析式，由根与系数关系得到：mn=-b，所以b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，∵AB与x轴平行，
根据抛物线的对称性有AE=BE=1，
∵∠AOB=90°，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴A（-1，1）、B（1，1），
把x=1时，y=1代入y=ax²得：a=1，
∴抛物线的解析式y=x²，
A、B两点的横坐标的乘积为x_A•x_B=-1
 
（2）x_A•x_B=-1为常数，
如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△BON，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴OM•ON=AM•BN，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
∵A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）在y=x²图象上，
∴，y_A=${{x}_{A}}^{2}$，y_B=${{x}_{B}}^{2}$，
∴-x_A•x_B=y_A•y_B=${{x}_{A}}^{2}$_•${{x}_{B}}^{2}$，
∴x_A•x_B=-1为常数；

（3）设A（m，m²），B（n，n²），
如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴$\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{BF}$，即$\frac{{m}^{2}}{n}=\frac{-m}{{n}^{2}}$，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线AB的解析式为y=kx+b，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y{=x}^{2}}\end{array}\right.$，得：x²-kx-b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=-b．
∴b=1．
∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，-2a-2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG²+GD²=PD²，
即：（-a）²+（-2a-3）²=3²，整理得：5a²+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-$\frac{12}{5}$，
当a=-$\frac{12}{5}$时，-2a-2=$\frac{14}{5}$，
∴P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{14}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（3）问中，注意根与系数关系的应用．