Question

20．如图，在?ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：DE∥BF．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，证出内错角相等∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，由SSS证明△ABC≌△CDA；由SAS证明△ABF≌△CDE；由SAS证明△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由△ABF≌△△CDE，得出对应角相等∠AFB=∠CED，即可证出DE∥BF．．

解答 （1）解：△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，
∴∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，
在△ABC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{CB=AD}&{\;}\\{AC=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠BAF=∠DCE}&{\;}\\{AF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}&{\;}\\{∠DAE=∠BCF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）证明：∵△ABF≌△△CDE，
∴∠AFB=∠CED，
∴DE∥BF．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键．