Question

如图，直线l₁，l₂，l₃相交于点A、B、C，得到△ABC，其中∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点O在线段AC上，且OA=2OC，将△ABC绕点O旋转得到△A₁B₁C₁，当点A₁落在这三条直线上时，线段AA₁长是________．

Answer 1

4.8或8或4
分析：利用勾股定理列式求出AB的长，然后求出OA、OC，再分①点A₁在直线l₁上时，先利用勾股定理列式求出A₁C，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点A₁在直线l₂上时，根据AA₁=2OA计算即可得解；③点A₁在直线l₃上时，过点O作OD⊥AB于D，利用相似三角形对应边成比例列式求出AD，再根据等腰三角形三线合一可得AA₁=2AD，代入数据计算即可得解．
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵OA=2OC，
∴OA=6×=4，OC=6×=2，
①如图1，点A₁在直线l₁上时，
在Rt△A₁OC中，A₁C===2，
在Rt△AA₁C中，AA₁===4；
②如图2，点A₁在直线l₂上时，AA₁=OA+OA₁=2OA=2×4=8；
③如图3，点A₁在直线l₃上时，过点O作OD⊥AB于D，
∵OA=OA₁，
∴AA₁=2AD，
易得△AOD∽△ABC，
∴=，
即=，
解得AD=2.4，
∴AA₁=2AD=2×2.4=4.8；
综上所述，线段AA₁长是4.8或8或4．
故答案为：4.8或8或4．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．