Question

【题目】如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是的中点．

（1）求证：BC＝DE；

（2）求证：AE是圆的直径；

（3）求圆的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据平行线得出∠DCE＝∠CEB，求出即可；

（2）求出AB＝BC＝BM，得出△ACB和△BCM是等腰三角形，求出∠ACE＝90°即可；

（3）根据求出∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，求出BN＝1，，根据勾股定理求出AE2的值，即可求出答案．

（1）证明：∵CD∥BE，

∴∠DCE＝∠CEB，

∴，

∴DE＝BC；

（2）证明：连接AC，

∵BC∥AD，

∴∠CAD＝∠BCA，

∴，

∴AB＝DC，

∵点D是的中点，

∴，

∴CD＝DE，

∴AB＝BC．

又∵BM＝BC，

∴AB＝BC＝BM，即△ACB和△BCM是等腰三角形，

在△ACM中，，

∴∠ACE＝90°，

∴AE是圆的直径；

（3）解：由（1）（2）得：，

又∵AE是圆的直径，

∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，

∴NA＝NE，

∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠ABN＝90°，

∴AB＝BN，

∵AB＝BM＝1，

∴BN＝1，

∴．

由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2＝，

∴圆的面积．