Question

10．在⊙O中，弦AB和弦AC构成的∠BAC=45°，M、N分别是AB和AC的中点，则∠MON的度数为45°或135°．

Answer 1

分析 连接OM，ON，利用垂径定理得OM⊥AB，ON⊥AC，再分类讨论，当AB，AC在圆心异侧时（如图1），利用四边形内角和得结果；
当AB，AC在圆心同侧时（如图2），利用相似三角形的性质得结果．

解答 解：连接OM，ON，
∵M、N分别是AB和AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
OM⊥AB，ON⊥AC，
当AB，AC在圆心异侧时（如图1），
∵∠BAC=45°，
在四边形AMON中，
∴∠MON=360°-90°-90°-45°=135°；
当AB，AC在圆心同侧时（如图2），
∵∠ADM=∠ODN，∠AMD=∠OND，
∴△ADM∽△ODN，
∴∠MON=∠BAC=45°．
故答案为：135°或45°．

点评 本题主要考查了垂径定理、四边形内角和定理；熟练掌握垂径定理，进行分类讨论是解决问题的关键．