Question

已知，在△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，角A的平分线交CD于F，交BC于F，过点E作EH⊥AB于H．
（1）求证：CE=CF=EH；
（2）若H为AB中点，∠B是多少度？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质可得CE=EH，即可证得Rt△ACE≌Rt△AHE，得到∠AEC=∠AHG，根据等角对等边证明CF=CE，即可证得；
（2）根据（1）的证明可得∠EAH=∠B=∠CAE，根据直角三角形的两锐角互余即可求得．

解答：（1）证明：∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EH⊥AB，
∴EH=CE，
∵∠ACE=∠AHE=90°，
∴在Rt△ACE和Rt△AHE中

AE=AE CE=EH

，
∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL），
∴∠AEC=∠AHG，
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EH，
∴∠HEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∴CE=CF=EH

（2）解：设∠B=x°，则∠EAH=∠B=∠CAE=x°，
∴3x=90° 
解得：x=30°

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质以及等腰三角形的判定定理，正确证明∠CEF=∠CFE是关键．