Question

6．如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，动点E、F分别从C点与B点出发，速度同为1单位/s，AB=4，F点先出发，若AF、BE相交于G，且∠AGB=60°时，问动点F与动点E出发时间有什么关系．此时$\frac{AF}{BE}$为多少？

Answer 1

分析 先证明△ABC是等边三角形，得出AC=BC，∠ACB=60°，再证明△BCE≌△ACF，得出对应边相等CE=CF，BE=AF，即可得出结果．

解答 解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCE=120°，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACF=120°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵∠AGB=60°，∠AGB=∠CBE+∠F，∠ACB=∠CAF+∠F，
∴∠CBE=∠CAF，
在△BCE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠CAF}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴CE=CF，BE=AF，
∴BC+CE-CF=BC=4，
∴E、F出发时间相差4s，$\frac{AF}{BE}$=1．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和全等三角形是解决问题的关键．