Question

12．如图，已知抛物线y=-x²-2x+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，在抛物线上找到一点D，使得∠DCB=∠ACO，则D点坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（-4，-5）．

Answer 1

分析 求出点A、B、C的坐标，当D在x轴下方时，设直线CD与x轴交于点E，由于∠DCB=∠ACO．所以tan∠DCB=tan∠ACO，从而可求出E的坐标，再求出CE的直线解析式，联立抛物线即可求出D的坐标，再由对称性即可求出D在x轴上方时的坐标．

解答 解：令y=0代入y=-x²-2x+3，
∴x=-3或x=1，
∴OA=1，OB=3，
令x=0代入y=-x²-2x+3，
∴y=3，
∴OC=3，
当点D在x轴下方时，
∴设直线CD与x轴交于点E，过点E作EG⊥CB于点G，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴BG=EG，OB=OC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3$\sqrt{2}$，
设EG=x，
∴CG=3$\sqrt{2}$-x，
∵∠DCB=∠ACO．
∴tan∠DCB=tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EG}{CG}=\frac{1}{3}$，
∴x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}$，
∴OE=OB-BE=$\frac{3}{2}$，
∴E（-$\frac{3}{2}$，0），
设CE的解析式为y=mx+n，交抛物线于点D₂，
把C（0，3）和E（-$\frac{3}{2}$，0）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=n}\\{0=-\frac{3}{2}m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$
∴直线CE的解析式为：y=2x+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$
解得：x=-4或x=0，
∴D₂的坐标为（-4，-5）
设点E关于BC的对称点为F，
连接FB，
∴∠FBC=45°，
∴FB⊥OB，
∴FB=BE=$\frac{3}{2}$，
∴F（-3，$\frac{3}{2}$）
设CF的解析式为y=ax+b，
把C（0，3）和（-3，$\frac{3}{2}$）代入y=ax+b
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{\frac{3}{2}=-3a+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线CF的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$
解得：x=0或x=-$\frac{5}{2}$
∴D₁的坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）
故答案为：（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（-4，-5）

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是根据对称性求出相关点的坐标，利用直线解析式以及抛物线的解析式即可求出点D的坐标，本题属于中等题型．