Question

15．在△ABC中，∠ABC=90°，分别以边AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD，AG，BD．

（1）如图1，探索AG与BD的关系；
（2）如图2，试说明：S_△ABC=S_△CDG．（提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角）

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质就可以得出△ACG≌△DCB，就可以得出结论；
（2）延长DC交GF于H，证明△BMC≌△GNC，就可以得出BM=GN，就可以得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABHI、四边形BCGF和四边形CAED都是正方形，
∴AB=BH=HI=AI，BC=CG=GF=BF，AE=DE=CD=AC，∠H=∠I=∠E=∠F=∠IAB=∠ABH=∠FBC=∠BCG=∠FGC=∠BAC=∠ACD=90°．
∴∠ACD+∠ACB=∠BCG+∠ACB，
∴∠DCB=∠ACG，
在△ACG和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACG=∠DCB}\\{BC=GC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△DCB（SAS），
∴AG=BD；

（2）如图，作BM⊥AC于M，GN⊥DC的延长于点N，
∴∠BMC=∠N=90°
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△BMC和△GNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠BMC=∠N}\\{BC=GC}\end{array}\right.$，
∴△BMC≌△GNC（AAS），
∴BM=GN，
∴$\frac{1}{2}$AC•BM=$\frac{1}{2}$DC•GN，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BM，S_△DCG=$\frac{1}{2}$DC•GN，
∴S_△ABC=S_△CDG．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，三角形全等的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，在解答时证明三角形全等是关键．