Question

18．在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，BE⊥AE，AE的延长线交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE是∠BAD的平分线；
（2）当∠D=90°，∠ABC=60°，AB=12时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠F=∠DAE，推出∠ECF=∠ADE，证得△FEC≌△AED，根据全等三角形的性质得到AE=EF，根据线段垂直平分线的性质得到AB=BF，于是得到∠BAE=∠F，等量代换得到∠DAE=∠BAE，即可得到结论；
（2）由（1）证得AB=BF，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，求出∠ABE=30°，根据直角三角形的性质得到AE=$\frac{1}{2}$AB=6，根据平行线的性质得到∠BAD=180°-∠ABC=120°，求得∠AED=30°，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠F=∠DAE，
又∵∠FEC=∠AED，
∴∠ECF=∠ADE，
∵E为CD中点，
∴CE=DE，
在△FEC与△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠AED}\\{CE=DE}\\{∠ECF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△FEC≌△AED，
∴AE=EF，
∵BE⊥AE，
∴AB=BF，
∴∠BAE=∠F，
∴∠DAE=∠BAE，
∴AE是∠BAD的平分线；

（2）由（1）证得AB=BF，
∵BE⊥AF，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=60°，
∴∠AED=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=3．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，梯形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．