Question

6．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（-2，-2），（$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+k-$\frac{1}{3}$，y=nx+2（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值；
（3）若二次函数y=ax²-ax+1（a是常数）的图象上存在两个“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且|x₁-x₂|=2，试求二次函数的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；
（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，设“梦之点”是（b，b），得关于b的方程，根据解方程，求得“梦之点”，然后代入y=nx+2即可求得n的值．
（3）先将A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²-ax+1，得到ax₁²-（a+1）x₁+1=0，ax₂²-（a+1）x₂+1=0，根据方程的解的定义可知x₁，x₂是一元二次方程ax²-（a+1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x₁+x₂=$\frac{a+1}{a}$，x₁•x₂=$\frac{1}{a}$，则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（$\frac{a+1}{a}$）²-$\frac{4}{a}$=4，整理得出a的值，然后把二次函数解析式画出顶点式即可求得顶点坐标．

解答 解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，
∴m=2，
∴P（2，2），
∴n=2×2=4，
∴这个反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）函数y=3kx+k-$\frac{1}{3}$（k≠1）的图象上有“梦之点”，设“梦之点”是（b，b），
把（b，b）代入y=3kx+k-$\frac{1}{3}$（k≠1）得b=3kb+k-$\frac{1}{3}$．
化简，得b-3kb=k-$\frac{1}{3}$．
解得b=-$\frac{1}{3}$，
即“梦之点”是（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
代入y=nx+2得-$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$n+2，
解得n=7；

（3）∵二次函数y=ax²-ax+1（a是常数）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²-ax₁+1，x₂=ax₂²-ax₂+1，
∴ax₁²-（a+1）x₁+1=0，ax₂²-（a+1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²-（a+1）x+1=0的两个不等实根，
∴x₁+x₂=$\frac{a+1}{a}$，x₁•x₂=$\frac{1}{a}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（$\frac{a+1}{a}$）²-$\frac{4}{a}$=4，
∴3a²+2a-1=0，解得a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=-1，
当a=$\frac{1}{3}$时，抛物线为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{12}$，
∴二次函数的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{12}$）；
当a=-1时，抛物线为y=-x²+x+1=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴二次函数的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
综上，二次函数的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{12}$）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，有一定难度．