Question

16．如图，△ABC中，∠CAB=60°，∠B=30°，E是AB的中点．
（1）作∠CAB的平分线与CB交于点D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图迹）．
（2）在（1）中，①连接DE．证明：△ACD≌△AED；②若CD=1，求DB的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的作法得出答案；
（2）①根据角平分线性质结合等腰三角形的性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
②求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

解答 解：（1）如图所示：AD即为所求；

（2）①证明：∵AD平分∠CAB，∠CAB=60°，∠B=30°，
∴∠CAD=∠DAE=∠B=30°，
∴CD=DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
②解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定、角平分线性质、含30度角的直角三角形性质的应用等知识，得出DE⊥AB是解题关键．