Question

1．二次函数y=$\frac{2}{3}$x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃…A₂₀₁₀在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…B₂₀₁₀，在二次函数y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀都为等边三角形，则△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的周长=6030．

Answer 1

分析 作B₁C⊥y轴于C，B₂D⊥y轴于D，B₃E⊥y轴于E，如图，设A_OC=t，根据等边三角形的性质得B₁C=$\sqrt{3}$A_OC，则B₁（$\sqrt{3}$t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得到t=$\frac{2}{3}$•（$\sqrt{3}$t）²，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{1}{2}$，于是得到OA₁=1，即△A₀B₁A₁边长为1，即A₁（0，1）；再设A₁D=m，同样设B₂（$\sqrt{3}$m，m+1），则m+1=$\frac{2}{3}$•（$\sqrt{3}$m）²，解得m₁=-$\frac{1}{2}$（舍去），M₂=1，又可得到A₁A₂=2A₁D=2，即△A₁B₂A₂边长为2，同理可得△A₂B₃A₃的边长为3，根据此规律可判断△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的边长为2010，然后计算△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的周长．

解答 解：作B₁C⊥y轴于C，B₂D⊥y轴于D，B₃E⊥y轴于E，如图，
设A_OC=t，
∵△A₀B₁A₁为等边三角形，
∴B₁（$\sqrt{3}$t，t），
∴t=$\frac{2}{3}$•（$\sqrt{3}$t）²，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{1}{2}$，
∴B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴OA₁=1，即△A₀B₁A₁边长为1；
∴A₁（0，1），
设A₁D=m，
∵△A₁B₂A₂为等边三角形，
∴B₂（$\sqrt{3}$m，m+1），
∴m+1=$\frac{2}{3}$•（$\sqrt{3}$m）²，解得m₁=-$\frac{1}{2}$（舍去），M₂=1，
∴A₁A₂=2A₁D=2，即△A₁B₂A₂边长为2，
同理可得△A₂B₃A₃的边长为3，
∴△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的边长为2010，
∴△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的周长=3×2010=6030．
故答案为6030．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等边三角形的性质．