分析 （1）在，当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°-45°=15°；
（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP-OA=2-1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°-30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN=$\frac{x}{x+1}$，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=$\sqrt{O{Q}^{2}-Q{F}^{2}}$-AO=2$\sqrt{2}$-1，求出x的取值范围是0＜x≤2$\sqrt{2}$-1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，求出OS=$\sqrt{O{K}^{2}-S{K}^{2}}$=2，在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2$\sqrt{3}$，KO′=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$在Rt△KGO′中，∠O′=30°，求得KG=$\frac{1}{2}$KO′=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$，在Rt△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．
解答 
解：发现：（1）在，
当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO=AB，
∴∠DOQ=∠ABO=45°，
∴α=60°-45°=15°；
（2）如图2，连接AP，
∵OA+AP≥OP，
当OP过点A，即α=60°时，等号成立，
∴AP≥OP-OA=2-1=1，
∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，
∴PA的最小值=1；
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，
过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，
∴∠POH=30°，
∴α=60°-30°=30°，
∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
∴S扇形KRQ=$\frac{60π{•（\frac{1}{2}）}^{2}}{360}$=$\frac{π}{24}$，
在Rt△RKE中，RE=RK•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S△PRK=$\frac{1}{2}$•RE=$\frac{\sqrt{3}}{16}$，∴S阴影=$\frac{π}{24}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$；
拓展：如图5，
∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，
∴△AON∽△BMN，
∴$\frac{AN}{BN}=\frac{AO}{BM}$，即$\frac{1-BN}{BN}=\frac{1}{x}$，
∴BN=$\frac{x}{x+1}$，
如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=$\sqrt{O{Q}^{2}-Q{F}^{2}}$-AO=2$\sqrt{2}$-1，
∴x的取值范围是0＜x≤2$\sqrt{2}$-1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，
则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，
OS=$\sqrt{O{K}^{2}-S{K}^{2}}$=2，
在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2$\sqrt{3}$，KO′=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
在Rt△KGO′中，∠O′=30°，
∴KG=$\frac{1}{2}$KO′=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△OGK中，sinα=$\frac{KG}{OK}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα=$\frac{KG}{OK}=\frac{\frac{1}{2}O′K}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（O′T-KT）}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}}{5}$=$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，
∴α=60°，
∴sinα=sin60$°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上所述sinα的值为：$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$或$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键．
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