Question

如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接CF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠CAF=45°，BC=4，CF=

10

，求△CAF的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）求出DE∥AB，AF∥BC来证明四边形ABDF是平行四边形．
（2）过点F作FG⊥AC于G点，求出AC和GF的长再求△CAF的面积．

解答：（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）
解：如图：过点F作FG⊥AC于G点，
∵BC=4，点D是边BC的中点，
∴BD=2，
由（1）可知四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD=2，
∵∠CAF=45°，
∴AG=GF=

2

，
在Rt△FGC中，∠FGC=90°，GF=

2

，CF=

10

，
∴GC=

FC2-FG2

=2

2

，
∴AC=AG+GC=3

2

，
∴S_△CAF=

1

2

AC•FG=

1

2

×3

2

×

2

=3．

点评：本题主要考查了平行四边形的判定及平行四边形的性质，解题的过程中勾股定理的运用很关键．