阅读材料:已知.如图(1).在面积为S的△ABC中.BC=a.AC=b.AB=c.内切圆O的半径为r．连接OA.OB.OC.△ABC被划分为三个小三角形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=12BC•r+12AC•r+12AB•r=12r．∴r=2Sa+b+c．(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆.如图(2).� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

阅读材料：
已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=

BC•r+

AC•r+

AB•r=

（a+b+c）r．
∴r=

a+b+c

．
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O₁与⊙O₂分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r₁和r₂，求

的值．

考点：圆的综合题,等腰梯形的性质,解直角三角形

专题：压轴题,阅读型

分析：（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
（2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r₁、r₂、

易得．

解答：

解：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．
∵S=S_△AOB+S_△BOC+S_△COD+S_△AOD
=

ar+

br+

cr+

dr
=

(a+b+c+d)r，
∴r=

a+b+c+d

．

（2）如图3，过点D作DE⊥AB于E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，

∴AE=

(AB-CD)=

•(21-11)=5，
∴EB=AB-AE=21-5=16．
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，
∴DE=12，
∴DB=

DE2+EB2

=20．
∵S_△ABD=

•AB•DE=

•21•12=126，
S_△CDB=

•CD•DE=

•11•12=66，
∴

2S△ABD

AB+BD+AD

2S△CDB

CD+CB+DB

2•126

21+20+13

2•66

11+13+20

．

点评：本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养．

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