Question

在平面直角坐标系中，有点A（m，0），B（0，n），且m，n满足n=

m2-4 + 4-m2 +12

m-2

．

（1）求A、B两点坐标；
（2）如图1，若P（1，a），且△PAB的面积为6，求a的值；
（3）如图2，若点C为x轴正半轴上一点，过C作CD∥AB，E为线段AB上一点，过O作OF⊥OE交CD于F，其中∠BEH=

1

3

∠BEO，∠FCH=

1

3

∠FCO．试写出∠H与∠BOF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积,三角形内角和定理

专题：

分析：（1）运用二次根式及分母有意义的条件求解．
（2）根据P点的不同位置讨论①当点P在x轴上方时，②当点P在x轴时，③当点P在x轴下方时，运用△PAB的面积为6，求出a的值．
（3）由直角关系得出∠BOF=∠AOE，由三角形外角得出∠BEO=∠BAO+∠AOE，∠1=180°-∠FCO，再由CD∥AB，得出∠BAO=∠1，即可得出∠BEO+∠FCO=180°+∠BOF，过点H作AB的平行线，可得∠H=

1

3

（∠BEO+∠FCO）．从而得出结论．

解答：解：（1）由n=

m2-4 + 4-m2 +12

m-2

得

m2-4≥0 4-m2≥0 m≠2

，
解得m=-2，
∴n=

12

-4

=-3，
∴A（-2，0），B（0，-3）；

（2）①当点P在x轴上方时，如图1，BP与x轴交于点M，

设BP所在的直线为y=k₁x+b₁，
把B（0，-3），P（1，a）代入，
得

b1=-3 a=k1+b1

，解得

k1=3+a b1=-3

，
y=（3+a）x-3，
∴M（

3

3+a

，0），
∴AM=2+

3

3+a

，
∵△PAB的面积=△AMP的面积+△AMB的面积，
∴

1

2

×（2+

3

3+a

）×a+

1

2

×（2+

3

3+a

）×3=6，
解得a=

3

2

；
②当点P在x轴上时，如图2，

△PAB的面积=

1

2

×AP×OB=

9

2

≠6故不成立；
③当点P在x轴下方时，如图3，BP与y轴交于点M，

设BP所在的直线为y=k₂x+b₂，
把A（-2，0），P（1，a）代入y=k₂x+b₂，
得

-2k2+b2=0 k2+b2=a

，解得

k2= a 3 b2= 2a 3

，
求得AP所在的直线解析式为：y=

a

3

x+

2a

3

，
∴M（0，

2a

3

）；
∴BM=|

2a

3

+3|，
∵△PAB的面积=△ABM的面积+△PMB的面积，

1

2

×|

2a

3

+3|×2+

1

2

×|

2a

3

+3|×1=6，
解得，a=-

21

2

，a=

3

2

不合题意，
综上所述a的值为：

3

2

或-

21

2

；

（3）3∠H-∠BOF=180°．理由如下：
如下图4，

∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∵∠BOF+∠BOE=∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF=∠AOE，
∵∠BEO=∠BAO+∠AOE，∠1=180°-∠FCO，
又∵CD∥AB，
∴∠BAO=∠1，
∴∠BEO=180°-∠FCO+∠AOE，
∴∠BEO+∠FCO=180°+∠BOF．
过点H作AB的平行线，可得∠H=∠BEH+∠FCH=

1

3

∠BEO+

1

3

∠FCO=

1

3

（∠BEO+∠FCO），
∴∠BEO+∠FCO=3∠H，
∴3∠H=180°+∠BOF即3∠H-∠BOF=180°，

点评：本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形的面积及三角形内角和定理，解题的关键是能根据P点的不同位置进行讨伦求值．