Question

如图，△ABC是边长为5的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC,连接BD，交AC于F.

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长.

Answer 1

（1）证明四边形ABCD为菱形，从而得AC与BD互相垂直平分 （2）5

试题分析：（1）AC与BD互相垂直平分.
证明：连接AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE=120°，
又∵△ABC是等边三角形，∴AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°，
∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°，∴B、C、E三点在一条直线上.
∴AB∥DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC与BD互相垂直平分.    
（2）由（1）知，四边形ABCD为菱形，∴∠DBE=∠ABC=30°，
∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°，∴∠BDE=90°. 
∵ B、C、E三点在一条直线上，∴BE=10，
∴ BD===5
点评：本题考查菱形和勾股定理，掌握菱形的判定方法和菱形的性质是解本题的关键，熟悉勾股定理的内容