Question

【题目】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．

　　　

（1）求证：BG=DG；

（2）求C′G的长；

（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）cm；（3）．

【解析】

（1）由折叠性质知∠A=∠C′，AB=C′D，再利用“AAS”证△GAB≌△GC′D得BG=DG；
（2）设C′G=x，由全等性质知GD=BG=8-x，再在Rt△ABG中，利用勾股定理得x2+62=（8-x）2，解之可得答案；
（3）先求出BD=10，再证MN是△ABD的中位线得DN=BD=5cm，MN=3cm，证EN=ED，设EM=x，则ED=EN=x+3，由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，解之可得答案．

解：（1）证明：沿对角线对折，点落在点的位置，

,，

在与中，

，

（AAS），

；

（2）

设，则，

∴，

∴，

∴cm；

（3）点与点重合，得折痕，

，

,，

在中，，

,，

，

是的中位线，

，

在中，

，

由折叠的性质可知，

，

，

，

，

设，则，

由勾股定理得，即，

解得，即.