Question

如图，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A（2，-2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的负半轴上取一点P（0，m），过P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到点B′在此反比例函数的图象上，则m的值是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,轴对称的性质

专题：

分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（2，-2），得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-

4

x

，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-

4

t

，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-

4

t

|=-

4

t

，然后解方程可得到满足条件的t的值．

解答：解：如图，∵点A坐标为（2，-2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-

4

x

，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-

4

t

，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-

4

t

|=-

4

t

，
整理 得t²-t-2=0，
解得 t₁=-1，t₂=2（不符合题意，舍去），
∴t的值为-1．
故答案是：-1．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．