Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：因为直线MN为梯形ABCD的对称轴，所以当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD有最小值．

解答：解：连接AC交直线MN于P点，P点即为所求．
∵直线MN为梯形ABCD的对称轴，
∴AP=DP，
∴当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD=AC，为最小值，
∵AD=DC=AB，AD∥BC，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB
∵∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=2，∠B=60°
∴AC=tan60°×AB=

3

×2=2

3

．
∴PC+PD的最小值为2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质、轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．解题关键是分析何时PC+PD有最小值．