Question

已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证：

AE

AC

=

EG

CG

；
（2）如果CF²=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE=EF即可证得；
（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得

CG

BC

=

FG

FC

，∠FCE=∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则

EF

EC

=

FG

FC

=

DE

EC

，即可证得

CG

FG

=

DE

EC

，则所证结论即可得到．

解答：证明：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴

AE

AC

=

DE

BC

，

EF

BC

=

EG

CG

，
又∵DE=EF，
∴

DE

BC

=

EF

BC

，
∴

AE

AC

=

EG

CG

；

（2）∵CF²=FG•FB，
∴

CF

FG

=

FB

CF

，
又∵∠CFG=∠CFB，
∴△CFG∽△BFC，
∴

CG

BC

=

FG

FC

，∠FCE=∠CBF，
又∵DF∥BC，
∴∠EFG=∠CBF，
∴∠FCE=∠EFG，
又∵∠FEG=∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴

EF

EC

=

FG

FC

=

DE

EC

，
∴

CG

FG

=

DE

EC

，即CG•CE=BC•DE．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，证明∠FEG=∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键．