Question

如图，AB是⊙O直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，切线GD与AB延长线交于点E．
（1）求证：∠C+∠EDF=90°
（2）已知：AG=6，⊙O的半径为3，求OF的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠EDF+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠EDF+∠C=90°．
（2）先求得EF=ED，设DE=x，则EF=x，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠ODE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比求得AE=2x，OE=3+

1

2

x，然后根据AE-OE=OA=3，求得x的值，进而求得OF=1．

解答：（1）证明：连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠EDF+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠C+∠EDF=90°．

（2）解：∵∠C+∠EDF=90°，∠C+∠CFO=90°，∠CFO=∠EFD，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
设DE=x，则EF=x，
∵∠ODE=∠GAE，∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴

OD

AG

=

DE

AE

=

OE

GE

，即

3

6

=

x

AE

=

OE

6+x

，
∴AE=2x，OE=3+

1

2

x，
∵AE-OE=OA=3，
∴2x-（3+

1

2

x）=3，解得x=4，
∴AE=2x=8，
∴OF=AE-EF-OA=8-3-4=1．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质．