Question

15．在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0）是过原点的直线上的动点．以P为端点在OP两侧作射线，其中射线PA交x轴于点B，交y轴于点A（0，m-a），射线PC交x轴于点C （m+a，0），m＞a＞0．是否存在点P，使得以P，B，C为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，求此时tan∠OPC的值；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 作辅助线，构建四边形和高线OG，先根据A（0，m-a），C （m+a，0），得EA=FC=a，易得Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），则∠PCB=∠PAE，PC=PA，∠EPA=∠FPC，再证明：∠BPC=90°，所以∠AOC=∠BPC，又知：PB＞PC，OA＜OC，以P，B，C为顶点的三角形与△OAC相似中存在一种情况：
当△AOC∽△CPB中，∠OAC=∠PCB，证明OB=OC，根据中位线定理的推论得：PG=PC，由此得OP=OC，利用同角的三角函数得出结论．

解答 解：过P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，
∵P（m，m），
∴OF=OE=PE=PF=m，
∵A（0，m-a），C （m+a，0），m＞a＞0，
∴EA=FC=a，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PCB=∠PAE，PC=PA，∠EPA=∠FPC，
∴PB＞PC，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPA+∠APF=90°，
∴∠FPC+∠APF=90°，
∴∠BPC=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠BPC，
∵∠PAE=∠BAO，
当△AOC∽△CPB中，∠OAC=∠PCB，
∵∠PCB=∠BAO，
∴∠BAO=∠OAC，
∵AO=OA，∠AOB=∠AOC=90°，
∴△AOB≌△AOC，
∴OB=OC，
过O作OG⊥PC于G，
∴OG∥BP，
∴PG=CG，
∴OG是PC的中垂线，
∴OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
∴tan∠OPC=tan∠OCP=$\frac{PF}{FC}=\frac{m}{a}$．

点评 本题考查了相似和全等三角形的性质和判定、解直角三角形、坐标与图形性质，根据点的坐标得出AE与CF相等是关键，对于P，B，C为顶点的三角形与△OAC相似时，注意三种情况中只成立一种情况．