Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=60°，过对角线BD的中点O的直线GH分别交AD、BC于点E、F，交BA的延长线于点G，交DC的延长线于点H，连结GD、BH，则下列结论：①AG=CH，②DE+CF=5，③S_{四边形ABFE}=3$\sqrt{3}$，④四边形BGDH为平行四边形．其中正确的有（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质得出AB∥CD即可得出∠OBG=∠ODH，进而得出△BOG≌△DOH即可判断出①正确；
进而判断出④正确，同①的方法判断出△AEG≌△CFH，进而得出AE=CF，即可求出DE+CF=4，即可得出②错误；利用平行四边形的面积公式求出平行四边形ABCD的面积，再判断出S_{四边形ABFE}=S_{四边形CDEF}即可．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BGO=∠DHO，∠OBG=∠ODH，
∵O是平行四边形ABCD的对角线的交点，
∴OB=OD，
在△BOG和△DOH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGO=∠DHO}\\{∠OBG=∠ODH}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△DOH，
∴BG=DH，
∴AG=CH，所以①正确；
∵BG=DH，BG∥DH，
∴四边形BGDH为平行四边形，所以④正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠∠AEG=∠BFG，
∵∠BFG=∠CFH，
∴∠AEG=∠CFH，
在△AEG和△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠CFH}\\{∠AGE=∠CHF}\\{AG=CH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CFH，
∴AE=CF，
∴DE+CF=DE+AE=AD=BC=4，所以②错误；
过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，∠ABC=60°，AB=3，
∴AM=ABsin∠ABC=3×sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{平行四边形ABCD}=BC×AM=4×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∵△BOG≌△DOH，△AEG≌△CFH，
∴S_{四边形ABOE}=S_{四边形CDOF}，
易证：△BOF≌△DOE，
∴S_△BOF=S_△DOE，
∴S_{四边形ABFE}=S_{四边形CDEF}=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，所以③正确；
即：正确的有①③④，
故选B．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△BOG≌△DOH和△AEG≌△CFH．