Question

18．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线交于点O，作∠DBF=30°，CE∥BD，DE∥BF，CE与BF交于点F，连接DF，∠DFC=105°．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）试说明△BDF的面积等于△ABD的面积；
（3）求CF的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=BF即可解决问题．
（2）由BD∥CF，推出S_△BDF=S_△BDC，由四边形ABCD是正方形，推出S_△ABD=S_△BDC，即可证明S_△BDF=S_△ABD．
（3）作FM⊥BC于M，由BD∥CF，推出∠BDC=∠DCF=∠FCM=45°，推出△CFM是等腰直角三角形，设CM=FM=x，在Rt△BFM中，由BF=BD=$\sqrt{2}$，BM=1+x，FM=x，可得（$\sqrt{2}$）²=x²+（x+1）²，解方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵BD∥EC，DE∥BF，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵∠BDF+∠DFC=180°，∠DFC=105°，
∴∠BDF=75°，∵∠DBF=30°，
∴∠BFD=180°-30°-75°=75°，
∴∠BDF=∠BFD=75°，
∴BD=BF，
∴四边形BDEF是菱形．

（2）证明：∵BD∥CF，
∴S_△BDF=S_△BDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴S_△ABD=S_△BDC，
∴S_△BDF=S_△ABD．

（3）解：作FM⊥BC于M，
∵BD∥CF，
∴∠BDC=∠DCF=∠FCM=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，设CM=FM=x，
在Rt△BFM中，∵BF=BD=$\sqrt{2}$，BM=1+x，FM=x，
∴（$\sqrt{2}$）²=x²+（x+1）²，
∴x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$（舍弃），
∴CF=$\sqrt{2}$CM=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程是思想思考问题，属于中考常考题型．