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【题目】定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BCAB,则称点C为线段AB的黄金分割点.

如图2△ABC中,AB=AC=1∠A=36°BD平分∠ABCAC于点D

1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;

2)求出线段AD的长.

【答案】 (1)详见解析

(2) AD=

【解析】

(1)判断△ABC∽△BDC,根据对应边成比例可得出答案。

(2)根据(1)列出方程即可求出AD的长度。

解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°。

∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°。∴AD=BD,BC=BD。

∴△ABC∽△BDC。∴,即。∴AD2=ACCD。

D是线段AC的黄金分割点。

(2)由(1)AD2=ACCD,即AD2=AC(AC﹣AD),AD2=1﹣AD,AD2+AD﹣1=。

解得AD=(舍去负值)。

∴AD=

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