Question

在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数的图象上，其中k₁＞0．AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1．

（1）若k₁=2，则AO的长为______，△BOD的面积为______；
（2）如图1，若点B的横坐标为k₁，且k₁＞1，当AO=AB时，求k₁的值；
（3）如图2，OC=4，BE⊥y轴于点E，函数的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中0＜k₂＜k₁．将△OMN的面积记为S₁，△BMN的面积记为S₂，若S=S₁-S₂，求S与k₂的函数关系式以及S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AC=1，k₁=2，点A在反比例函数y=的图象上，
∴y==2，即OC=2，
∴AO==，
∵点B在反比例函数y=的图象上，BD⊥x轴，
∴△BOD的面积为1．

（2）∵A，B两点在函数C1：y=（x＞0）的图象上，
∴点A，B的坐标分别为（1，k₁），（k₁，1）．
∵AO=AB，
由勾股定理得AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，
∴1+k₁²=（1-k₁）²+（k₁-1）²．
解得k₁=2+或k₁=2-，
∵k₁＞1，
∴k₁=2+；

（3）∵OC=4，
∴点A的坐标为（1，4）．
∴k₁=4．
设点B的坐标为（m，），
∵BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且S_{四边形ODBE}=4，
点M的纵坐标为，点N的横坐标为m．
∵点M，N在函数C₂：y=（x＞0）的图象上，
∴点M的坐标为（，），点N的坐标为（m，）．
∴S_△OME=S_△OND=．
∴S₂=BM•BN=（m-）（-）=．
∴S=S₁-S₂=（4-k₂-S₂）-S₂=4-k₂-2S₂．
∴S=4-k₂-2×=-k₂²+k₂，
其中0＜k₂＜4．
∵S=-k₂²+k₂=-k₂（k₂-1）²，而-＜0，
∴当k₂=2时，S的最大值为1．
故答案为：，1．
分析：（1）把k₁=2，AC=1代入反比例函数的解析式求出A点坐标，再根据勾股定理求出OA的长；根据反比例函数图象上点的坐标特点可直接得出△BOD的面积；
（2）由于A，B两点在函数C1：y=（x＞0）的图象上，故点A，B的坐标分别为（1，k₁），（k₁，1），再由AO=AB，可根据由勾股定理得出AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，再求出k₁的值即可；
（3））先根据OC=4得出点A的坐标，故可得出k₁的值，设点B的坐标为（m，），因为BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D，所以四边形ODBE为矩形，且S_{四边形ODBE}=4，再由点M的纵坐标为，点N的横坐标为m．点M，N在函数C₂：y=（x＞0）的图象上可知点M的坐标为（，），点N的坐标为（m，）．所以S_△OME=S_△OND=，S₂=BM•BN，再由S=S₁-S₂可得出关于k₂的解析式，由其中0＜k₂＜4即可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，此题涉及到勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特点及二次函数的最值问题等相关知识，难度较大．