Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）在AC上求作一点P，使∠ABP=∠A；（用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）如果∠A=22.5°，利用上述作图，求tan22.5°的值．（结果保留根式）

Answer 1

解：（1）如图所示，点P即为所求；

（2）∵∠A=22.5°，∠ABP=∠A，
∴∠BPC=∠A+∠ABP=22.5°+22.5°=45°．
又∵∠C=90°，
∴∠PBC=45°，
∴BC=CP，BP=BC，
∴AP=BP=BC，
∴AC=AP+PC=BC+BC=（+1）BC，
∴tan22.5°=tanA===-1．
分析：（1）作出AB的垂直平分线，与AC的交点即是所求P点；
（2）先根据三角形的外角性质得出∠BPC=45°，得出△BPC是等腰直角三角形，由勾股定理知BP=BC，再由等角对等边得出AP=BP，然后在△ABC中根据正切函数的定义即可求出tanA即tan22.5°的值．
点评：此题主要考查了线段垂直平分线的作法及其性质，正切函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度中等．