Question

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的高．已知CD=5，sinB=$\frac{1}{3}$．求BC、BD、AD、AC的长以及tanA、cos∠ACD的值．

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠ADC=∠BDC=90°，根据三角函数的定义得到BC=$\frac{CD}{sinB}$=15，由勾股定理得到BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，通过△ACD∽△BCD，根据相似三角形的性质得到$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{CD}$，于是得到AD=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，CD是斜边AB的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵CD=5，sinB=$\frac{1}{3}$，
∴BC=$\frac{CD}{sinB}$=15，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
∵∠A+∠B=∠A+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠B，
∴△ACD∽△BCD，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
∴AD=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴AC=3AD=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$，
∴tanA=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{5}{\frac{5\sqrt{2}}{4}}$=2$\sqrt{2}$，cos∠ACD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{5}{\frac{15\sqrt{2}}{4}}$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和锐角三角函数的意义是解决问题的关键．