Question

如图，抛物线y=ax²+bx-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过（-3，12a），对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使△POC的面积和△PBC的面积比为1：5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，要使以M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点N的坐标．

Answer 1

解：（1）对称轴x=-=1①，
将（-3，12a）代入y=ax²+bx-1得，12a=9a-3b-1②，
联立①②得：
，
解得：，
抛物线对应的函数表达式为：y=x²-x-1；

（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，
当x=0时，y=-1，则C的坐标为（0，-1），即CO=1，
y=0时，0=x²-x-1；
（x+1）（x-3）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵P在直线x=1上，△POC的面积和△PBC的面积比为1：5，
∴S_△POC=×CO×PE=×1×1=，S_△PBC=，
连接BC，交x=1于D，
∵S_△PBC=×PD×BO，
∴=×DP×3，
∴PD=，
设BC：y=k₁x-1，
∴3k₁-1=0，
∴k₁=，
∴y=x-1，
当x=1时，y=-，则D点坐标为：（1，-），
∵PD=，
∴P点可能在D点上面，此时P点坐标为（1，1）；也可能在D点下面，此时P点坐标为（1，-）；
∴存在P，P点坐标为（1，1）或（1，-）；

（3）①如图2，若以OB为一边，设M（1，y₀），则N（x₀，y₀），
又|MN|=|x₀-1|，|OB|=3，
∵四边形MNOB为平行四边形，
∴|MN|=|OB|，
∴|x₀-1|=3，
∴x₀-1=±3，
∴x₀=4或-2，
∴N₁（4，），N₂（-2，）；
②如图3，若以OB为对角线，过点N作NF⊥OB于点F，直线x=1交OB于点E，
∴∠OEM=∠BFN，
∵平行四边形OMBN，
∴OM∥BN，OM=BN，
∴∠MOE=∠NBF，
即，
∴△OEM≌△BFN（AAS），
∴OE=BF=1，
∴OF=2，
∴当x=2时，y=-1，
∴N₃（2，-1）．
综上所述，N点坐标为：（4，）或（-2，）或（2，-1）．
分析：（1）利用对称轴x=-=1，以及将（-3，12a）代入y=ax²+bx-1，即可联立两式求出a，b的值；
（2）利用已知可以求出△POC的面积，再利用△POC的面积和△PBC的面积比为1：5得出△PBC的面积，进而求出PD的长，即可得出P点坐标；
（3）利用平行四边形的性质结合图形得出若以OB为一边以及以OB为对角线时，分别得出N点坐标即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质与判定和三角形面积求法等知识，根据已知结合图形以及利用分类讨论思想得出是解题关键．