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精英家教网如图一,平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,6),D是BC边上的动点(与点B,C不重合),现将△COD沿OD翻折,得到△FOD;再在AB边上选取适当的点E,将△BDE沿DE翻折,得到△GDE,并使直线DG、DF重合.
(1)如图二,若翻折后点F落在OA边上,求直线DE的函数关系式;
(2)设D(a,6),E(10,b),求b关于a的函数关系式,并求b的最小值;
(3)一般地,请你猜想直线DE与抛物线y=-
1
24
x2+6的公共点的个数,在图二的情形中通过计算验证你的猜想;如果直线DE与抛物线y=-
1
24
x2+6始终有公共点,请在图一中作出这样的公共点.
分析:(1)当F落在OA上时,四边形OCDF和四边形DGEB都是正方形,因此CD=DF=OC=6,即D点的坐标为(6,6),而GF=DF-DG=DF-(BC-CD)=6-(10-6)=2,因此E点的坐标为(10,2).然后可用待定系数法求出直线DE的解析式.
(2)根据D、E的坐标可知:CD=a,BE=6-b,BD=BC-CD=10-a,可根据相似三角形△OCD和△DBE得出的关于OC、CD、DB、BE的比例关系式求出b、a的函数关系式.然后可根据函数的性质得出b的最小值及对应的a的值.
(3)可将(1)中得出的直线DE的解析式联立抛物线的解析式,看得出的一元二次方程的根的判别式△的值与0的关系即可得出交点的个数.
解答:(1)解:∵∠DFO=∠DCO=∠COF=90°,
OC∥DF,
∵CD∥OA,
∴四边形COFD是矩形,
∵根据△COD沿OD翻折,得到△FOD,
∴OC=OF=6,
∴四边形COFD是正方形,
同理四边形BDGE是正方形,
∴CD=OF=DF=6,OA=10,AE=6-4=2,
∴D(6,6),E(10,2),
设直线DE的解析式是y=kx+b,
代入得:
2=10k+b
6=6k+b

解得:k=-1,b=12,
∴直线DE的函数关系式是y=-x+12.

(2)依题意有:CD=a,BD=10-a,BE=6-b.
∵∠ODE=90°,∠OCD=90°,
∴∠CDO+∠COD=∠CDO+∠BDE=90°
∴∠COD=∠BDE
∵∠OCD=∠B=90°
∴△OCD∽△DBE
BD
OC
=
BE
CD

10-a
6
=
6-b
a

∴b=
1
6
a2-
5
3
a+6=
1
6
(a-5)2+
11
6

当a=5时,b最小值=
11
6
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(3)猜想:直线DE与抛物线y=-
1
24
x2+6只有一个公共点.
证明:由(1)可知,DE所在直线为y=-x+12.
代入抛物线,得-
1
24
x2+6=-x+12
化简得x2-24x+144=0,所以△=0.
所以直线DE与抛物线y=-
1
24
x2+6只有一个公共点.
解得:x=12,
∴y=0,
公共点为:(12,0).
∴延长OF交DE于点H,点H即为公共点.
点评:本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形翻折变换、三角形相似、矩形的性质等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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5
≈2•236
).
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米.

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