Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P、Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）D、F两点间的距离是；
（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；
（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）25
（2）解：射线QK能把四边形CDEF分成面积相等的两部分．

如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，

∵D，F是AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，

∴QK过DF的中点O时，即过矩形CDEF的中点，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，

此时QH=OF=12.5．

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，

∴BC=40，

由BF=20，△HBF∽△CBA，可得HB=16．

故t= = =7 ．

（3）解：①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时，如图，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得 = ，

即 = ．

∴t=4 ；

②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时，如图，已知QB=4t，从而PB= = =5t，

由PF=7t﹣35，BF=20，可得5t=7t﹣35+20．

解得t=7 ．

综上所述，t的值为4 或7 ．

【解析】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF= AB=25，
即D、F两点间的距离是25，
所以答案是：25．
【考点精析】关于本题考查的三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，需要了解连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．