Question

1．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．（如图（1）、（2））
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
（2）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，根据矩形的性质和直角三角形的性质，可证明△QNP≌△PMB，可证明PQ=PB；
（2）△PCQ可以成为等腰三角形．当点Q在DC边上时，利用勾股定理可得到x的方程；
当点Q在DC的延长线上时，由PQ=CQ，可得到x的方程；从而可求得满足条件的x的值．

解答 解：（1）PB=PQ．
证明：过P作MN∥BC，分别交AB、DC于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．
∴NP=NC=MB．
∵∠BPQ=90°，
∴∠QPN+∠BPM=90°．
而∠PBM+∠BPM=90°，
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°，
∴△QNP≌△PMB．∴PB=PQ．
（2）△PCQ可能成为等腰三角形．
①方法一、当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形．
此时x=0．
方法二、当点Q在边DC上，
由PQ²=CQ²得：（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（1-$\sqrt{2}$x）²
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{2}$（舍去）；
②解法一：当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图2）．
此时，QN=PM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，CP=$\sqrt{2}-x$，CN=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CP=1-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
∴CQ=QN-CN=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-（{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}）=\sqrt{2}x-1$．
此时，得x=1．
解法二：当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图2）．
由于此时，∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠PCN=22.5°，
∴∠APB=90°-22.5°=67.5°，∠ABP=180°-（45°+67.5°）=67.5°．
∴∠APB=∠ABP．
∴AP=AB=1．
∴x=1．
故当点P在线段AC上滑动时，△PCQ可能成为等腰三角形．

点评 本题主要考查四边形的综合应用，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．在（2）中利用分类讨论思想分别得到关于x的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，有一定的难度．