Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为边AC上一点（不包括点A和C），以点A为圆心，AM长为半径作劣弧交AB于点N，将

MN

沿AB水平向右平移，使点M落在BC上点M′处，则

MN

扫过的最大面积为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,平移的性质

专题：

分析：由平移的性质可知

MN

扫过的面积为一个矩形，过C作C⊥AB，交MM′于H，设矩形的长为y，DH=x，矩形的面积为s，因为MM′∥AB，所以△CMM′∽△CAB，进而得到y和x的关系式，再利用矩形的面积即可得到s和x的函数关系式，根据函数的性质即可求出

MN

扫过的最大面积．

解答：解：过C作C⊥AB，交MM′于H，设矩形的宽为y，DH=x，矩形的面积为s，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴CD=

AC•BC

AB

=2.4，
∵MM′∥AB，
∴△CMM′∽△CAB，
∴

CH

CD

=

MM′

AB

，
∴

2.4-x

2.4

=

y

5

，
∴y=

60-25x

12

，
∴s=xy=

60-25x

12

•x=-

25

12

x²-5x，
∵a＜0，
∴s有最大值，为

4ac-b2

4a

=-

0-25

25 3

=3，
故答案为：3．

点评：本题考查了平移的性质、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是读懂题意：可知

MN

扫过的面积为一个矩形，是一道很不错的中考题．