Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是∠ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，AE：AC=1：2，⊙O的半径为3，求AE的长．
（3）在（2）的条件下，延长AO交⊙O于点D，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥AB于F，如图，先根据角平分线的性质定理得到OF=OC，然后根据切线的判定定理可判断AB是⊙O的切线；
（2）设AE=x，则AC=2x，利用勾股定理得到3²+（2x）²=（x+3）²，然后解方程求出x即可得到AE的长；
（3）作CH⊥OA于H，如图，利用面积法求出CH，然后根据三角形面积公式计算△ACD的面积．

解答 （1）证明：作OF⊥AB于F，如图，
∵AO是∠ABC的角平分线，
而OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OF=OC，
而OC为圆的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：设AE=x，则AC=2x，
在Rt△AOC中，∵OC²+AC²=OA²，
∴3²+（2x）²=（x+3）²，解得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴AE=2；
（3）作CH⊥OA于H，如图，
∵$\frac{1}{2}$CH•OA=$\frac{1}{2}$AC•OC，
∴CH=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴△ACD的面积=$\frac{1}{2}$•AD•CH=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{12}{5}$=$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定方法和角平分线的性质定理；会运用勾股定理计算线段的长．