Question

在四边形ABCO中，∠AOC=∠OCB=90°，AO=2，OC=8，CB=8
（1）求线段AB长；
（2）点P为直线AO上一点，且△PAB为等腰三角形，则线段OP长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，作辅助线，直接运用勾股定理来解答即可解决问题．
（2）如图2，作辅助线，按照分类讨论的数学思想，分AB为底或腰来逐一解析，问题即可解决．

解答：解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC，

则四边形AOCD为矩形，
∴AD=OC=8，DC=AO=2，
∴BD=BC-CD=6；由勾股定理得：
AB²=AD²+BD²=64+36=100，
∴AB=10．

（2）如图2，点P在OA的延长线上，且AB为等腰△PAB的底，过P做PQ⊥AB于点Q；

则AQ=BQ=

1

2

AB=5；
∵∠AOC=∠OCB=90°，
∴AO∥BC，∠PAQ=∠ABD，
∴△PAQ∽△ABD，
∴PA：AB=AQ：BD，而AB=10，AQ=5，BD=6，
∴PA=

25

3

，OP=2+

25

3

=

31

3

．
若AB为等腰△PAB的腰，则PA=AB或PB=AB；
若PA=AB，则：
①当点P在OA的延长线上时，
OP=10+2=12；
②当点P在AO的延长线上时，
OP=10-2=8；
若PB=AB，如图3，过点B作BQ⊥PA，
则AQ=BQ；而四边形ADBQ为矩形，
∴AQ=BD=6，
∴OP=12+2=14，
故答案为

31

3

，8，12，14．

点评：该题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及其性质、矩形的性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．