Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C做⊙O 的切线，与AE的延长线交于点D，且AD⊥CD．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AB=10，CD=4，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE=2

【解析】

（1）连接OC，利用切线的性质可得出OC∥AD，再根据平行线的性质得出∠DAC=∠OCA，又因为∠OCA=∠OAC，继而可得出结论；

（2）方法一：连接BE交OC于点H，可证明四边形EHCD为矩形，再根据垂径定理可得出，得出，从而得出，再通过三角形中位线定理可得出，继而得出结论；方法二：连接BC、EC，可证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的性质可得出AD=8，再证△DEC∽△DCA，从而可得出结论；方法三：连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F，利用已知条件得出OF=3，再证明△DEC≌△CFB，利用全等三角形的性质即可得出答案．

解：（1）证明：连接OC，

∵CD切☉O于点C

∴OC⊥CD

∵AD⊥CD

∴∠D=∠OCD=90°

∴∠D+∠OCD=180°

∴OC∥AD

∴∠DAC=∠OCA

∵OA=OC

∴∠OCA=∠OAC

∴∠DAC=∠OAC

∴AC平分DAB

（2）方法1：连接BE交OC于点H

∵AB是☉O直径

∴∠AEB=90°

∴∠DEC=90°

∴四边形EHCD为矩形

∴CD=EH=4

DE=CH

∴∠CHE=90°

即OC⊥BH

∴EH=BE=4

∴BE=8

∴在Rt△AEB中

AE=6

∵EH=BH

AO=BO

∴OH=AE=3

∴CH=2

∴DE=2

方法2：

连接BC、EC

∵AB是直径

∴∠ACB=90°

∴∠D=∠ACB

∵∠DAC=∠CAB

∴△ADC∽△ACB

∴

∠B=∠DCA

∴AC2=10·AD

∵AC2=AD2+CD2

∴10·AD=AD2+16

∴AD=2舍AD=8

∵四边形ABCE内接于☉O

∴∠B+∠AEC=180°

∵∠DEC+∠AEC=180°

∴∠B=∠DEC

∴∠DEC=∠DCA

∵∠D=∠D

∴△DEC∽△DCA

∴

∴CD2=AD·DE

∴16=8·DE

∴DE=2；

方法3：

连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F

∵CD⊥AD，∠DAC=∠CAB

∴CD=CF=4，∠D=∠CFB=90°

∵AB=10

∴OC=OB=5

∴OF=3

∴BF=OB-OF=5-3=2

∵四边形ABCE内接于☉O

∴∠B+∠AEC=180°

∵∠DEC+∠AEC=180°

∴∠B=∠DEC

∴△DEC≌△CFB

∴DE=FB=2．