Question

如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是角平分线，则△DBC的周长与△ABC的周长的比值是

 

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，可以求得∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线定义，可得∠BCD=∠ACD=36°；根据两角对应相等，得△DBC∽△BCA，则相似三角形的面积比是相似比的平方．设AB=x，BC=y，根据等腰三角形的性质，则AD=CD=BC=y，则BD=x-y．根据相似三角形的性质求得y：x的值，即可得出答案．

解答：解：设AB=x，BC=y．
∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵CD是角平分线，
∴∠BCD=∠ACD=36°．
∴AD=CD=BC=y，
∴BD=x-y．
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，
∴△DBC∽△ABC．
∴

AB

BC

=

BC

BD

．
即

x

y

=

y

x-y

，
x²-xy-y²=0，
x=

1± 5

2

y（负值舍去）．
即

y

x

=

5 -1

2

，
则△DBC的周长与△ABC的周长的比值是

y

x

=

5 -1

2

．
故答案为：

5 -1

2

．

点评：此题考查了黄金分割，用到的知识点是等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，得到两个相似三角形的相似比是本题的关键．