如图1.在平面直角坐标系中.点A坐标为.点B的坐标为(4.0)．(1)求直线AB的解析式,(2)点M是坐标轴上的一个点.若AB为直角边构造直角三角形△ABM.请求出满足条件的所有点M的坐标,(3)如图2.以点A为直角顶点作∠CAD=90°.射线AC交x轴的负半轴与点C.射线AD交y轴的负半轴与点D.当∠CAD绕点A旋转时.OC-OD的值是否发生变化?若不变.直接写出它� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-4，4），点B的坐标为（4，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；
（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．

分析（1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）分别过A、B两点作AB的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M点，再结合相似三角形的性质求得OM的长即可求得点M的坐标；
（3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F，可证明△AEC≌△AFD，可得到EC=FD，从而可把OC-OD转化为FD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OE+OF=8；

解答解：
（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
∵点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，
∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，
①当∠BAM=90°时，如图1，

过A作AB的垂线，交x轴于点M₁，交y轴于点M₂，
则可知△AEM₁∽△BEA，
∴$\frac{{M}_{1}E}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，
由（1）可知OE=OB=AE=4，
∴$\frac{{M}_{1}E}{4}$=$\frac{4}{8}$，解得M₁E=2，
∴OM₁=2+4=6，
∴M₁（-6，0），
∵AE∥y轴，
∴$\frac{{M}_{1}E}{{M}_{1}O}$=$\frac{AE}{O{M}_{2}}$，即$\frac{2}{6}$=$\frac{4}{O{M}_{2}}$，解得OM₂=12，
∴M₂（0，12）；
②当∠ABM=90°时，如图2，
过B作AB的垂线，交y轴于点M₃，

设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，2），
∴OE=2，OB=4，
由题意可知△BOE∽△M₃OB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OB}{O{M}_{3}}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{4}{O{M}_{3}}$，解得OM₃=8，
∴M₃（0，-8），
综上可知点M的坐标为（-6，0）或（0，12）或（0，-8）；
（3）不变．
理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．

则∠AGC=∠AHD=90°，
又∵∠HOC=90°，
∴∠GAH=90°，
∴∠DAG+∠DAH=90°，
∵∠CAD=90°，
∴∠DAG+∠CAG=90°，
∴∠CAG=∠DAH．
∵A（-4，4），
∴OG=AH=AG=OH=4．
在△AGC和△AHD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠AHD}\\{AG=AH}\\{∠CAG=∠DAH}\end{array}\right.$
∴△AGC≌△AHD（ASA），
∴GC=HD．
∴OC-OD=（OG+GC）-（HD-OH）=OG+OH=8．
故OC-OD的值不发生变化，值为8．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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