Question

如图，在等边△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F，求证：

1

CE

+

1

BF

=

3

AB

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：作辅助线构造出两对相似三角形，分别求出

1

CE

、

1

BF

与等边△ABC的边长之间的关系，经化简运算问题即可解决．

解答：解：过点D分别作DG∥BM，DK∥NC，交BC与点G、K；
则∠DGK=∠ABC，∠DKG=∠ACB；
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC（设为a），∠ABC=∠ACB=60°，
故∠DKG=∠DKG=60°，△DGK是等边三角形；
∴DG=GK=DK；
∵DM∥BG，DG∥BM，
∴四边形DMBG是平行四边形，DG=BM；而点M为AB的中点，
∴GK=DK=DG=BM=

1

2

a．
∵DK∥NC，
∴

DK

CE

=

BK

BC

，

1

CE

=

BK

BC•DK

；
同理可求：

1

BF

=

CG

BC•DG

，故

1

CE

+

1

BF

=

BK

BC•DK

+

CG

BC•DG

∵DG=DK=

1

2

a，BC=a，
∴

1

CE

+

1

BF

=

2(BK+CG)

a2

；
又∵BK+CG=（BK+CK）+GK=a+

1

2

a=

3

2

a，
∴

1

CE

+

1

BF

=

3a

a2

=

3

a

，
即

1

CE

+

1

BF

=

3

AB

点评：考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质及其应用问题；解题的关键是首先构造出两对相似三角形，然后利用相似三角形的性质列出有关比例式化简运算．