Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，连接BB′，CC′交于点D．
（1）如图1，当∠CAC′=90°时，猜想并证明B′D与AB的数量关系；
（2）如图2当∠CAC′=α时，猜想并证明B′D与AB的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知△CAC′，△BAB′均为等腰直角三角形，从而可求得∠DCB=135°，∠ACD=∠ABD=45°，所以点A、D、C、B共圆，从而得到∠DAB=45°，然后等腰三角形三线合一的性质可知BD=DB′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB；
（2）依据（1）中的方法证明AD等等腰△BAB′的角平分线，由等腰三角形三线合一的性质可知BD=DB′=sin$\frac{α}{2}$•AB．

解答 解：（1）B′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB．
理由：如图1所示：连接AD．

∵∠CAC′=90°，AC=AC′，
∴∠ACD=45°．
同理：∠ABD=45°．
∴∠DCB=ACD+∠ACB=45°+90°=135°．
∵∠ACD与∠ABD在AD的同侧，且∠ACD与=∠ABD，
∴点A、D、C、B共圆．
∴∠DAB+∠DCB=180°．
∴∠DAB=45°．
∴AD平分∠BAB′．
又∵AB=AB′．
∴BD=DB′，AD⊥BB′．
∴B′D=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB$．
（2）B′D=sin$\frac{α}{2}$•AB．
理由：连接AD．

∵∠CAC′=α，AC=AC′，
∴∠ACD=90°$-\frac{α}{2}$．
同理：∠ABD=90°$-\frac{α}{2}$．
∴∠DCB=ACD+∠ACB=90°$-\frac{α}{2}$+90°=180°-$\frac{α}{2}$°．
∵∠ACD与∠ABD在AD的同侧，且∠ACD与=∠ABD，
∴点A、D、C、B共圆．
∴∠DAB+∠DCB=180°．
∴∠DAB=$\frac{α}{2}$．
∴AD平分∠BAB′．
又∵AB=AB′．
∴BD=DB′，AD⊥BB′．
∴B′D=sin$\frac{α}{2}$AB．

点评 本题主要考查的是锐角三角函数的定义、四点共圆的条件、等腰三角形的性质，特殊锐角三角函数值，证得AD是∠BAB′的平分线是解题的关键．