Question

5．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为线段BC中点，∠EDF=∠ABC，AE=CD．
（1）如图（1），EF交AD于点G，∠ABC=60°，求∠ADF的度数；
（2）如图（2），EF交AD于点G，G为AD中点，2∠FDC=∠ABC，求证：AE=2EG；
（3）如图（3），若∠ABC=45°，请直接写出线段AE、EF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先判定△ABC是等边三角形，△BDE是等边三角形，求得∠ADC=90°，再根据∠ADF=∠ADC-∠CDF进行计算，即可求得∠ADF的度数；
（2）先过点D作DH∥AE交EF于H，得到∠EAG=∠HDG，∠BED=∠HDE，再判定△AEG≌△DHG（ASA），得出AE=DH=CD，EG=HG，再判定△CDF≌△HDF（SAS），最后根据∠DEH=∠EDH，得到DH=EH=2EG，进而得出AE=2EG；
（3）先过点D作DG⊥AB于G，根据△ABC是等腰直角三角形，得出△ADG是等腰直角三角形，设AG=DG=1，进而得到AD=$\sqrt{2}$=CD=AE，则可得DE²=4-2$\sqrt{2}$，再根据△DEF∽△AED，得出DE²=EF×EA，即4-2$\sqrt{2}$=EF×$\sqrt{2}$，由此求得EF的长，最后判断出线段AE、EF之间的数量关系．

解答 解：（1）如图1，∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EDF=∠ABC=60°，
∵D为线段BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∵AE=CD，AB=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠CDF=180°-60°-60°=60°，
∴∠ADF=90°-60°=30°；

（2）证明：如图2，过点D作DH∥AE交EF于H，则∠EAG=∠HDG，∠BED=∠HDE，
∵G是AD的中点，
∴AG=DG，
在△AEG和△DHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠HDG}\\{AG=DG}\\{∠AGE=∠DGH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DHG（ASA），
∴AE=DH=CD，EG=HG，
设2∠FDC=∠ABC=∠EDF=2α，则∠CDF=∠BED=∠HDE=$\frac{1}{2}$∠EDF=α，
∴∠FDH=2α-α=α，
∴∠CDF=∠HDF，
在△CDF和△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=HD}\\{∠CDF=∠HDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△HDF（SAS），
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=2α，
∴∠DHF=∠C=2α，
∴∠DEH=∠DHF-∠EDH=2α-α=α，
∴∠DEH=∠EDH，
∴DH=EH=2EG，
∴AE=2EG；

（3）EF=（2-$\sqrt{2}$）AE．
理由如下：如图3，过点D作DG⊥AB于G，
∵∠ABC=45°，AB=AC，
∴∠C=45°，即△ABC是等腰直角三角形，
∵D为线段BC中点，
∴∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG=DG=1，则AD=$\sqrt{2}$=CD=AE，
∴EG=AE-AG=$\sqrt{2}$-1，
∴Rt△DEG中，DE²=DG²+EG²=1²+（$\sqrt{2}$-1）²=4-2$\sqrt{2}$，
∵∠EDF=∠ABC=EAD=45°，∠FED=∠DEA，
∴△DEF∽△AED，
∴$\frac{FE}{DE}$=$\frac{DE}{AE}$，即DE²=EF×EA，
∴4-2$\sqrt{2}$=EF×$\sqrt{2}$，
解得EF=$\frac{4-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
即EF=（2-$\sqrt{2}$）AE．

点评 本题属于三角形综合题，主要主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，运用全等三角形的对应边相等以及等腰直角三角形的边角关系进行求解．