Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线的解析式可变形为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；
（2）设直线CE的解析式为y=mx-$\sqrt{3}$，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$），则点F（x，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），则FP=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．

解答 解：（1）∵y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）．
∴A（-1，0），B（3，0）．
当x=4时，y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
∴E（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线AE的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（2）设直线CE的解析式为y=mx-$\sqrt{3}$，将点E的坐标代入得：4m-$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，解得：m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴直线CE的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$），则点F（x，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
则FP=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$）-（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x-$\sqrt{3}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x．
∴△EPC的面积=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）×4=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x．
∴当x=2时，△EPC的面积最大．
∴P（2，-$\sqrt{3}$）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，
∴k（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴tan∠KCP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵OD=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OCD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠OCD=∠KCP=30°．
∴∠KCD=30°．
∵k是BC的中点，∠OCB=60°，
∴OC=CK．
∴点O与点K关于CD对称．
∴点G与点O重合．
∴点G（0，0）．
∵点H与点K关于CP对称，
∴点H的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．
∴GH=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3．
∴KM+MN+NK的最小值为3．

（3）如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，
∴点F（3，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
∵点G为CE的中点，
∴G（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
∴FG=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
∴当FG=FQ时，点Q（3，$\frac{-4\sqrt{3}+2\sqrt{21}}{3}$），Q′（3，$\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{21}}{3}$）．
当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$对称，
∴点Q″（3，2$\sqrt{3}$）．
当QG=QF时，设点Q₁的坐标为（3，a）．
由两点间的距离公式可知：a+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}-a）^{2}}$，解得：a=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．
∴点Q₁的坐标为（3，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
综上所述，点Q的坐标为（3，$\frac{-4\sqrt{3}+2\sqrt{21}}{3}$）或′（3，$\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{21}}{3}$）或（3，2$\sqrt{3}$）或（3，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键．