Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）抛物线上有一点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①B（1，0）；②y＝x2x+2；（2）△PAC的面积有最大值是4，P（﹣2，3）；（3）M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）

【解析】

（1）①先根据直线的解析式求出A,C的坐标，再利用抛物线的对称轴即可求出点B的坐标；

②将抛物线的解析式设成两点式，然后利用待定系数法即可求解；

（2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，设，则Q（m，m+2），表示出PQ，然后利用求解即可；

（3）以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，设，则，分别利用勾股定理求出AC,BC的长度，然后建立关于t的方程求解即可．

解：（1）①令，则，解得，令，则，

∴．

∵抛物线的对称轴为 ，

，

；

②∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），

∴可设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1）．

又∵抛物线过点C（0，2），

∴2＝﹣4a

∴a＝

∴y＝x2x+2．

（2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

设，则Q（m，m+2），

∴当m＝﹣2时，△PAC的面积有最大值是4．

当m＝﹣2时，，

∴此时P（﹣2，3）．

（3）

∴以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则有或

∵

设，则

若，则

解得或，

此时M的坐标为或 ；

若，则

解得或，

此时M的坐标为或 ；

综上所述，M的坐标为M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）．