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【题目】如图1,AB是⊙O的直径,E是AB延长线上一点,EC切⊙O于点C,OP⊥AO交AC于点P,交EC的延长线于点D.

(1)求证:△PCD是等腰三角形;
(2)CG⊥AB于H点,交⊙O于G点,过B点作BF∥EC,交⊙O于点F,交CG于Q点,连接AF,如图2,若sinE= ,CQ=5,求AF的值.

【答案】
(1)解:连接OC,

∵EC切⊙O于点C,

∴OC⊥DE,

∴∠1+∠3=90°,

又∵OP⊥OA,

∴∠2+∠4=90°,

∵OA=OC,

∴∠1=∠2,

∴∠3=∠4,

又∵∠4=∠5,

∴∠3=∠5,

∴DP=DC,即△PCD为等腰三角形


(2)解:如图2,连接OC、BC,

∵DE与⊙O相切于点E,

∴∠OCB+∠BCE=90°,

∵OC=OB,

∴∠OCB=∠OBC,

∴∠OBC+∠BCE=90°,

又∵CG⊥AB,

∴∠OBC+∠BCG=90°,

∴∠BCE=∠BCG,

∵BF∥DE,

∴∠BCE=∠QBC,

∴∠BCG=∠QBC,

∴QC=QB=5,

∵BF∥DE,

∴∠ABF=∠E,

∵sinE=

∴sin∠ABF=

∴QH=3、BH=4,

设⊙O的半径为r,

∴在△OCH中,r2=82+(r﹣4)2

解得:r=10,

又∵∠AFB=90°,sin∠ABF=

∴AF=12.


【解析】本题主要考查切线的性质、平行线的性质及三角函数的应用等知识的综合,根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC是解题的关键.(1)连接OC,由切线性质和垂直性质得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°,继而可得∠3=∠5得证;(2)连接OC、BC,先根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC得QC=QB=5,而sinE=sin∠ABF= ,可知QH=3、BH=4,设圆的半径为r,在RT在△OCH中根据勾股定理可得r的值,在RT△ABF中根据三角函数可得答案.

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A.
B.
C.
D.

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